събота, 7 юли 2018 г.

От Платон до Талес

Robert Hahn, The Metaphysics of the Pythagorean Theorem. Thales, Pythagoras, Engineering, Diagrams, and the Construction of the Cosmos out of Right Triangles. New York: SUNY Press, 2018

Да се аргументира, че платоновата философия е осезаемо повлияна от математическото познание, е занимание по-скоро тривиално. Спорът несъмнено би бил за степента, а не за факта, така че и прегледът на вече изказаните констатации изисква преди всичко търпение. Не толкова тривиално изглежда твърдението, че и философията на Талес е от подобно естество, а с това се е заел Робърт Хан в своята нова книга, макар че неговият опит, поради явната липса на адекватен материал, е обречен да остане спекулативен. Дали игнорирането на този предизвестен резултат е осъдително или похвално остава спорно, но самото начинание изглежда достатъчно интересно и си струва да бъде проследено.
Талес с е бил обявен за първия философ в гърция от Аристотел [Met. 983b] и традицията на немската историография преутвърждава тази номинация. На същите места се казва и че той бил посочил „водата“ като начало на всичко и още че се бил занимавал с геометрия. Роберт Хан сигурно е един от малцината, които са се опитали да покажат, че това не са два факта от биографията на някакъв многостранно надарен индивид, а част от единен проект. Действително, дори само спирайки се върху думите, може да се очете, че първата съставка на гео-метрия навярно е толкова „земя“ колкото „водата“ на Талес – вода.

Талес бил доказал, често се повтаря, че в равнобедрен триъгълник два от ъглите са равни: дали той не е бил първия педант - защото един поглед към съответна на името фигура го прави очевидно. Ако фигурата е, така да се каже, преди свойствата си, съвсем приемливо е да се мисли, че триъгълниците от този вид са могли да бъдат наречени с друго име - примерно „симетрични“ или „двойни“. За това, вероятно, в стандартните прочити емфазата се насочва към доказването, а не в доказваното, което е тривиално. На този етап следва да се помни, че то се върши в неформален контекст: геометрията няма още основания отвъд очевидностите, няма възприета конвенция за тях. Реториката, която стандартните изложения използват, настоява, че именно защото вървял от очевидното разнообразие на света към неочевидната му моносубстанциалност Талес е бил философ. Предварително - или едновременно – той е вървял и от очевидното - фигурата, към неочевидното – доказването.

В един прочит вдъхновен от книгата на Хан, по-скоро отколкото почерпан от нея, при Талес сякаш идва прозрението, че големина и форма са свързани. При все че най-непосредственият опит не дава произволно големи предмети (напр. мухи), понятията големина и форма са независими. Гръцката геометрия, в класическите и изложения, които познаваме, се занимава преимуществено с форми, а не с големини. В същото време ключовият елемент за формата - ъгълът, е някакси априорно ограничен: разтваря се до максимум и после симетрично се затваря: отказва сякаш да бъде третиран именно като големина, която, като такава, би могла да бъде неограничено увеличавана.
Прозрението на Талес, намира завършен вид в едно твърдение, което е било описана още в античността като „далеч по-висше“ от прословутата питагорова теорема: за всеки две фигури е възможно да се построи трета, еднаква по форма с едната и по площ - с другата [1]. Подробностите са ивадени на показ от Елементи-те на на Евклид, но между него и Талес историята неминуемо включва Питагор, Платон и Аристотел, имена нужни за да се оправдае заглавието на Хан „Метафизика на Питагоровата теорема”. Самата книга навярно би могла да стои между тези на Фоулер и Нец [2], всички те с нестандартни възгледи за древногръцката математика. Какво са заели гърците от по-древните култури, какво са преоткрили и какво са избретили, са въпроси дискутирани и видимо нерешими и чиито отговори всеки изследовател избира по свой вкус. Колкото до математиката, Ван дер Варден и, по-нататък, Фриберг [3] сочат като начало Вавилон и може би техните доводи звучат по-убедително от останалите – за пренос от Египет или за автохтонен произход. Единодушно се признава, че оригиналността на гърците е във факта, че разработват мататематиката не с примеру, а чрез доказателства. По всичко личи, че в централизираните царства „научната” дейност също е концентрирана около двореца и там йерархията навярно добре е съответствала на компетентността: нови резултати биват апробирани или спускани „отгоре”. Между разпръснатите гръцки полиси обаче няма признат авторитет и това налага разработването на състоятелна реторика, каквото е всяко признавано доказателство. Хан отчасти приема тази постановка, макар че според него Талес донася египетска мъдрост, в която се опитва да убеди първо съгражданите си и по-нататък всички останали гърци. Тази история следва и предаденото от Херодот: след разливите на Нил египетските земле-мери възстановяват, доколкото е възможно, границите на частните полета, като приоритетно се грижат площите им да са като предишните – те са основанието за събираните даннъци, в които е държавният интерес [Hdt, 2.109]. Използването на връв или въже като единствено средство несъмнено обяснява защо по-късно само (неразграфена) линия и пергел са допустими в гръцката геометрия. Очертаваните граници между нивите, разбира се, били праволинейни и именно за фигурите, описвани с прави линни, е отработена техника на триангулиране и смятане. Действително, при нея се изявява, че всяка такава фигура е разложима на триъгълници и че всеки триъгълник е разложим на два правоъгълни. А площта на правоъгълния триъгълник несъмнено е половината от тази на правоъгълника, който непосредствено му съответства. Неизбежно идва и идеята, че ако правоъгълникът има 4 прави ъгъла то неговият диа-метър - онова, което наричаме ди-агонал - ги разпределя в симетричните му части по равно – по два прави ъгъла за всеки от тригълниците. Така скицираното изглежда е достатъчно за метафизиката на Талес, макар че Хан отива много по-долеч и му приписва още ред нетривиални геометрични прозрения, в това число и знанието на т.н питагорова теорема и дори владеене на нейното класическо евклидовско доказателство.
При своя изобретателен прочит Хан експлоатира една възможна двусмиленост, скривана там където се казва, че всеки триъгълник съдържа „два прави <>“ Стандартно за липсващата дума се приема, че е „ъгли“, макар че в твърде много случаи би могло да е „триъгълника“. В неразпознатото смесване на двете твърдения се очертава и метафизиката, с която е известен Талес. Осъществяването на такива трансформации – раз-деляне и сумиране - не засяга една суб-станция която е условие за тяхната възможност.
Аналогията, която е ключова за Хан се изгражда над наблюдението, че ако всяка фигура е разложима на триъгълници и всеки от тях - на правоъгълни, то по-нататък разлагането не води до нови форми: правоъгълен триъгълник е разложим еднозначно на два по-малки, само че те имат същата форма; в тази перспектива се вижда един „припцип“ ипи „начало“ на плоските фигури; във физическия свят всичко пък се свежда до един прост флуид, неразложим по-нататък – архе-то, за което ни е осведомил Аристотел.
В една исторически по-мащабна визия Хан приема и че Талес е първоизточникът за космологията в платоновия Тимей, която също се базира на правоъгълните триъгълници. Отвъд твърдението, че те били най-прекрасни [Tim.54а] Платон не очертава друга мотивация за тях, обаче и при Талес липсва явно указание за безкрайното им повторение при смаляване на мащаба: на това място разумният историцизъм вероятно ще възрази, че след като свидетелства няма, връзката е чисто спекулативна, а внушението от подзаглавието на книгата е подеждащо. Но пък може да се подозира, че това е идеологически мотивирана реакция, доколкото има риск Платон да се окаже твърде близо до материалистите. Правдоподобен екзегетически мит пред(по)лага, че занаятчията (демиургът) в Тимей е не повече от образ на геометъра, който решава задача за построение. А контрастът между земния (или земноводния?) Талес и възвишения Платон навява усещането, че спрямо античната геометрия Тимей би бил нещо като ню ейдж бръщолевенията спрямо днешната наука. За Талес се разказва как определил височината на Пирамидите и как указал метод да се определя отдалечеността на кораб в морето – две задачи, които по съвсем друг начин илюстрират едно постигане на материално недостижимото.

Връзката, която Хан предполага, необходимо минава през разглеждането на онова, което продължава да битува под наименованието „питагорейство“. Спрямо станалата класика книга на Валтер Буркерт, неговото отношение изглежда като великодушно снизхождение, а опитите за корекции от страна на Жмуд сякаш са му се сторили плахи [4]. Хан приема не само че в една или друга формулировка съдържанието на питагорова теорема е било вече известно на Талес, но и че питагорейците реално са негови наследници. С разчитането на клинописа безспорно се установява, че поне хиляда години преди Питагор в древно-вавилонското царство са знаели достатъчно за тройките цели числа сумиращи се по формулата на питагоровата теорема [5]. Тази аритметическа релация несъмнено е забележителна, докато геометричската й интерпретация лесно може да стане повод за недоумение: че сумата от квадратите, построени на катетите, е равна на този върху хипотенузата, какво от това? Днешното училищно преподаване сякаш подминава реалната значимост, макар че тя е изявена в книгата на Евклид: като Т.VI.31: всевъзможни подобни фигури, били те окръжности, петоъгълници, мики-мауси и пр., когато имат линеен размер, съответсващ на единия и другия катет от правоъгълен триъгълник, имат общо площ като фигурата оразмерена с хипотенузата. Друго яче казано, правоъгълният триъгълник позволява сумирането на площи, при условието за подобие. Така той функцинира като по-сложен алгоритъм за „растеж“, за разлика от просто наставянето на отсечки в линейния случай и обединяването на две фигури по обща граница.
Съобразява се, че в монистката перспектива, изявявана от Хан, въпросът за знанието на тези факти е особено значим. Но той е релевантен и по-общо исторически: какво би се случвало с питагорейската идеология, когато не може да бъде скривано, че диагоналът на квадратът е несъзимерим с неговата страна – той няма число, противно на лозунга „всичко е число“, с който школата е известна. Правдоподобният наратив предполага изначалната аритметика, пропорциите и след тях несъзимеримостите. Съществуването на диагонала обаче е очевидност, каквато съществуването на числото не е. Част от заниманието на Хан е именно да изтъква визуалната страна на разумното доказване. Талес е геометър и астроном докато по-късните питагорейци се занимават с числа и слушат музика. Елементи-те на Евклид обаче подчертано се стремят да избягват алгебата и за нас класическото доказателство на питагоровата теорема изглежда като изкуствено усложнение [6]. За спасяването на питагорейците от анахронизъм и воден от своите пристрастия, Хан привлича платоновите тела. Вместо да стоят като отмъщение на дискретните числа над континуалната геометрия те биха били своего рода пророчество. Ако в равнината има произволен брой правилни фигури, то в пространството техният брой е точно пет [7].

В последна сметка със своята книга Робърт Хан като че ли повтаря жеста на Ницше, който съчинява Раждането на Трагедията от духа на музиката: пренаписване на историята в лично предпочетени категории – нещо, което академичната нагласа, тогава и сега, има всички основания да порицае.

Бележки
[1] Квалификация от неособено компетентния Плутрах, Plutarch, Quaestiones Convivales. Book VIII, 720a
[2] Fowler D., The Mathematics of Plato’s Academy: A New Reconstruction. Oxford, UK: Oxford University Press, 1987.
Netz R., Ludic Proof: Greek Mathematics and the Alexandrian Aesthetic, Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
[3] van Der Waerden B., Science Awakening, Transl. by A. Dresden. Dordrecht: Kluwer, 1954 / Ван дер Варден Б., Пробуждаща се наука (пp. от рус.), София : Наука и изкуство, 1968
Friberg J., Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics, World Scientific Publishing, 2007
[4]Burkert W., Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Transl. by E. L. Minar. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1972. (Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaus un Platon. Nuremberg: Hans Carl, 1962).
Zhmud L., Pythagoras and the Early Pythagoreans. Oxford, UK: Oxford University Press, 2012./ Жмудь Л., Пифагор и ранние пифагорейцы. Москва: Русский Фонд Содействия Образованию и Науке, 2012; The Origin of the History of Science in Classical Antiquity. Berlin: Walter de Gruyter, 2006./ Жмудь Л., Зарождение истории науки в античности. СПб., 2002.
[5] Abdulaziz A, The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples, (2010), arXiv:1004.0025 
[6]По днешни преценки, известни са над 350 доказателства за твърдяното в питагоровата теорема вж. напр. Loomis E., (1968). The Pythagorean proposition (2nd ed.). The National Council of Teachers of Mathematics / (1st. ed.).
[7]Аналози на платоновите тела могат да се дефинират в пространства с всякаква размерност: още в XIX в. Шлефли показва, че в 4D са възможни 6 тела - пет от тях са многомерни аналози на платоновите; за пространства с по-голяма размерност възможните случаи са само 3. В 2D (равнина) възможностите са правилните многоъгълници, които са изброима безкрайност, в 1D това биха били неизброимо многото отсечки. вж.Schläfli L., [1852], Graf, J. H., ed. (на German), „Theorie der vielfachen Kontinuität“, Republished by Cornell University Library historical math monographs 2010, Zürich, Basel: : Georg & Co.

Няма коментари: