неделя, 22 юли 2018 г.

Лайбниц, вечното завръщане (1)

Преди четвърт век, когато нещата сякаш /наистина/ се променяха, издаването на том текстове от Лайбниц изглеждаше атрактивно. Не се получи, но остана обемиста документация, в т. ч. и няколко файла, които от тогава се копират на всеки нов компютър. В 1991 е била издадена и една книжка на Марсел Фишан За хоризонта на човешката ученост, чието съдържание тогава беше повод на догадки: от изданието на Кутюра е известна една съвсем кратка и не особено съдържателна работа на Лайбниц със същото заглавие. В нея е скицирано комбинаторното изчерпване на възможностите, представяни от всички книги с някакъв краен обем [1]. Идеята е позната, разбира се, в трактовката на Борхес от Вавилонската библиотека [2]. Лайбниц обаче е разработил темата в друга посока, за което свидетелстват още негови текстове, практически недостъпни преди изданието на Фишан. Писменото наследство от Лайбниц безспорно е нелинейно: по-късното не само препраша към по-ранното, но фрагменти се препоявяват, биват редактирани и транспонирани - ако някаква идея може да се проследи, то това е повече оптическа постановка, отколкото реалност. Фишан аргументирано намира продължението на комбинаториката във вечното завръщане, тема която по-рано тук се коментираше с Рециклирането на Платон, предмет на интерес по съвсем друг повод. Безвремието на интернет епохата позволява да се върнем към всичко това.
Борхес съвсем класически е експлоатирал зрелището, което представя на практика едно необозримо голямо число, илюстрирал, а не коментирал, оставяйки на заден план метафизическите импликации, относно които Лайбниц на дълго и на широко е разамишлявал. При множеството от книгите, например, той се спира на онези, които във фиксирания обем представят някаква история, подробната хроника за няколко дни в малък град или подобен срок от биографията на някой индивид. Като история, те са случвали и ще се случват в перспективата на безкрайното време: вечното завръщане се оказва неизбежност. Впечатлява лекотата, с която Лайбниц посочва ключовите детайли от постановката: словесността е дискретизиране на континуалния човешки опит, така че повторението, както той казва, би било осезаемо, а не съвършенно. Онова, което занимава Лайбниц, е несъмнено формата на самото теоретизиране: от действителността, към описанието и чрез него обратно към действителността - именно това, което демонстративно върши съвременната физика. Но импликациите, които сякаш го тревожат са от друго естество. Лайбниц чудесно познава античната доктрина за вечното завръщане и нейното яростно отхвърляне от християнските доктринери. ”Апокатастасис” използвано в заглавията на фрагментите[3] сякаш недвусмилено препращат към Ориген и неговата реторика. В тази общо употребима гръцка дума първоначално няма нищо религиозно и астрономите са я ползвали за да обозначат завръщането на някоя скитаща звезда в набелязаното й предишно място[4]. При полемиките с популярните стоическите възгледи за платоновата година тя придобива и смисъла придаван й от по-късните автори (в т.ч. и някои от началото на 17 в.). Доста парадоксално като че ли Лайбниц излага нов аргумент за идея, с която по принцип и изначално не е съгласен. Но възможностите за край или продължение на прогреса той обсъжда вече в последните месеци от живота си, прекаран сред купища от книги - както Борхес и той официално е библиотекар.


Доказателства за огромния и вечен Всемир, за Световете и вековете, и още за състоянието на миналите и бъдещи неща.

Готфрид Вилхелм Лайбниц

Предполагайки, че човешкият род трае достатъчно дълго, неизбежно ще дойде време, когато няма да се казва нищо, което по-рано да не е било казано1 . При все че не е сигурно, че ще има време, когато няма да е възможно да се каже нещо, което да не е било казано по-рано: действително, може да случи някои неща никога да не са казвани, дори да е минала цялата вечност - те завинаги ще останат казваеми и неказани. Няма никога съвършени завръщания като тези на кръговете или елипсите и, освен в сетивата, не може да се случи време или място от всемира да са съвършенно същите като други.
Но предполагайки, че един ден няма да се казва нищо, което по-рано да не е било казано, то трябва да има и време, в което се връщат същите събития и когато не се случва нищо, което да не се е случвало по-рано, тъй като фактите представляват предмета на речта.
Дори повече, има с необходимост някакви периоди, подобни на платоновата година така че в течение на век се случват точно неща, осезаемо същите като тези, случили се вече в друг век, понеже цял век може да се счита за един голям факт и историята му - за голямо изказване, същите тези случки с необходимост или се повтарят или се изчерпват т.е. повтрят се винаги пак след изчерпване. Това, което важи за различни времена на същото място или същите факти, може да се разпростре и за различни места в същото време, където същото пак се завръща. По-нататък за всеки ум (дух/mens) могат да бъдат разбирани такива периодичности след като той винаги мисли, макар неясно и без вниманието на душата (anima).
Макар да предполагаме, че ще настъпи време, когато човешкият род /вече/ не съществува, то на траещи интелигентни субстанции, които не ползват други мисловни предмети и понятия освен нашите, би следвало да се случи същото.
Най-вече понеже не подобава на достойнството на природата предшествениците просто да се повтарят, от това следства, че се стига до интелигенции ставащи по-съвършени, които да имат други по-задълбочени понятия и способни да достигат по-обхватни и сложно-съставни истини; така в познанието може да се напредва до безкрай.
За това, ако човешките умове навършват по няколко платонови години, би било подходящо същият човек да се завръща, не просто за да се върне на земята, а за да се върне, така да се каже следвайки спирала или лакатушещ път, по който напредва към нещо по-голямо – както на ръба на канавка отстъпваме, за да я прескочим.
Може обаче да се окаже че прогресът не е спирала и няма друго движение назад , че е директен и непосредствен като в първичната циклоида, а не като в удължената 3. А може би някои твари преминават в следващ платонов период и други – не.
През течението на периодите би имало не само безсмъртие на душата, но също и нещо еквивалентно на възкресяването на телата, ако ли не самото това възкресяване. Дори повече, смятам, че не може да се избяга от платоновата периодичност, поне заради понятията, които трябва да останат или пък са отчетливи и за които не би имало новост на предмета, а на формата или комбинирането, което пък има край. И несъмнено, който разбира неотчетливите поnятия, ги разлага на отчетливи, така че щом като умовете, напредващи към съвършенство, съставят от по късите изказвания все по-дълги, то техните действия ще са все по-обхватни комбинации от предишините им действия и дори/още повече/ ще прогресират било по спирала или в нарастващи платоновски години, поради което може да се вярва, че съшите /духове/ често се връщат, за да продължават делото. А това може би е обещанието за възкресяване направено от Демокрит, което Плинии е счел за напълно глупаво4.

Оригиналният текст се съхранява в хановерския архив (Нanover: Niedersachsische Landesbibliothek LH IV, 5. Публикуван за първи път от Fichant M., Leibniz G., De I'Horizon de la doctrine humaine, textes inedits, Paris: Vrin, 1991 p. 57-61. След заглавието Лайбниц е вписал: моят Хоризонт на човешката наука и онова, което съм писал за него на Фонтенел 26.02.1701, се добавят към казаното тук, а това дава и основание за датирането му възприето от Фишан, т.е февруари-март 1701.
1 Цитат, следващ Теренции (Nullumst iam dictum quod non dictum sit prius; Eunuchus, Prol., Line 41
2 Аnnus platonicus - понятието има не съвсем ясна история, започваща с препратки към Тимей: първо там (Тим 23) е разказът за периодичното унишожаване на света от пожари и потопи, а по- нататък (Тим 39d) се споменава астрономическата ‘съвършена година“; двете са обединени по-късно във възгледите на гръцките стоици
3 Общият случай е трохоида.
4 Pl. Hist. Nat., VII, 55, 189 Similis est de adservandi corporibus homini ad reviviscendi promisso Demociti vanitatis qui non revixit ipse Този неудачен коментар на Плиний Лайбниц цитира по същия повод в писмо до де Мезо от 1711 (GP7, 536), докато по-рано в Нова система на Природата от 1695, както и тук, само го споменава (GP4, 481).Настойчивото повтаряне се обяснява със заглавието Democritus revivescens, Paris, 1646 на Жан Хризостом Магнен



Бележки
[1] Fichant M, Leibniz G., De I'Horizon de la doctrine humaine, textes inedits, Paris: Vrin 1991; Couturat L., Opuscules et fragments inedits de Leibniz. Extraits Des Manuscrits de La Bibliotheque Royale de Hanovre, 1903, p. 530-3
[2] Борхес Х., Вавилонската библиотека, София: Народна Култура 1989 и в англ. превод. Преди фикционалния текст Борхес публикува ерудитското есе La biblioteca total (The Total Library), Sur, No. 59, Aug. 1939
[3] Leibniz G., (1715) Apokatastasis panton англ. превод
[4] Mugler C., Dictionnaire historique de la terminologie geometrique des grecs, Paris: Klinksieck 1958, p. 75

[+/-] Show Full Post...

събота, 7 юли 2018 г.

От Платон до Талес

Robert Hahn, The Metaphysics of the Pythagorean Theorem. Thales, Pythagoras, Engineering, Diagrams, and the Construction of the Cosmos out of Right Triangles. New York: SUNY Press, 2018

Да се аргументира, че платоновата философия е осезаемо повлияна от математическото познание, е занимание по-скоро тривиално. Спорът несъмнено би бил за степента, а не за факта, така че и прегледът на вече изказаните констатации изисква преди всичко търпение. Не толкова тривиално изглежда твърдението, че и философията на Талес е от подобно естество, а с това се е заел Робърт Хан в своята нова книга, макар че неговият опит, поради явната липса на адекватен материал, е обречен да остане спекулативен. Дали игнорирането на този предизвестен резултат е осъдително или похвално остава спорно, но самото начинание изглежда достатъчно интересно и си струва да бъде проследено.
Талес с е бил обявен за първия философ в гърция от Аристотел [Met. 983b] и традицията на немската историография преутвърждава тази номинация. На същите места се казва и че той бил посочил „водата“ като начало на всичко и още че се бил занимавал с геометрия. Роберт Хан сигурно е един от малцината, които са се опитали да покажат, че това не са два факта от биографията на някакъв многостранно надарен индивид, а част от единен проект. Действително, дори само спирайки се върху думите, може да се очете, че първата съставка на гео-метрия навярно е толкова „земя“ колкото „водата“ на Талес – вода.

Талес бил доказал, често се повтаря, че в равнобедрен триъгълник два от ъглите са равни: дали той не е бил първия педант - защото един поглед към съответна на името фигура го прави очевидно. Ако фигурата е, така да се каже, преди свойствата си, съвсем приемливо е да се мисли, че триъгълниците от този вид са могли да бъдат наречени с друго име - примерно „симетрични“ или „двойни“. За това, вероятно, в стандартните прочити емфазата се насочва към доказването, а не в доказваното, което е тривиално. На този етап следва да се помни, че то се върши в неформален контекст: геометрията няма още основания отвъд очевидностите, няма възприета конвенция за тях. Реториката, която стандартните изложения използват, настоява, че именно защото вървял от очевидното разнообразие на света към неочевидната му моносубстанциалност Талес е бил философ. Предварително - или едновременно – той е вървял и от очевидното - фигурата, към неочевидното – доказването.

В един прочит вдъхновен от книгата на Хан, по-скоро отколкото почерпан от нея, при Талес сякаш идва прозрението, че големина и форма са свързани. При все че най-непосредственият опит не дава произволно големи предмети (напр. мухи), понятията големина и форма са независими. Гръцката геометрия, в класическите и изложения, които познаваме, се занимава преимуществено с форми, а не с големини. В същото време ключовият елемент за формата - ъгълът, е някакси априорно ограничен: разтваря се до максимум и после симетрично се затваря: отказва сякаш да бъде третиран именно като големина, която, като такава, би могла да бъде неограничено увеличавана.
Прозрението на Талес, намира завършен вид в едно твърдение, което е било описана още в античността като „далеч по-висше“ от прословутата питагорова теорема: за всеки две фигури е възможно да се построи трета, еднаква по форма с едната и по площ - с другата [1]. Подробностите са ивадени на показ от Елементи-те на на Евклид, но между него и Талес историята неминуемо включва Питагор, Платон и Аристотел, имена нужни за да се оправдае заглавието на Хан „Метафизика на Питагоровата теорема”. Самата книга навярно би могла да стои между тези на Фоулер и Нец [2], всички те с нестандартни възгледи за древногръцката математика. Какво са заели гърците от по-древните култури, какво са преоткрили и какво са избретили, са въпроси дискутирани и видимо нерешими и чиито отговори всеки изследовател избира по свой вкус. Колкото до математиката, Ван дер Варден и, по-нататък, Фриберг [3] сочат като начало Вавилон и може би техните доводи звучат по-убедително от останалите – за пренос от Египет или за автохтонен произход. Единодушно се признава, че оригиналността на гърците е във факта, че разработват мататематиката не с примеру, а чрез доказателства. По всичко личи, че в централизираните царства „научната” дейност също е концентрирана около двореца и там йерархията навярно добре е съответствала на компетентността: нови резултати биват апробирани или спускани „отгоре”. Между разпръснатите гръцки полиси обаче няма признат авторитет и това налага разработването на състоятелна реторика, каквото е всяко признавано доказателство. Хан отчасти приема тази постановка, макар че според него Талес донася египетска мъдрост, в която се опитва да убеди първо съгражданите си и по-нататък всички останали гърци. Тази история следва и предаденото от Херодот: след разливите на Нил египетските земле-мери възстановяват, доколкото е възможно, границите на частните полета, като приоритетно се грижат площите им да са като предишните – те са основанието за събираните даннъци, в които е държавният интерес [Hdt, 2.109]. Използването на връв или въже като единствено средство несъмнено обяснява защо по-късно само (неразграфена) линия и пергел са допустими в гръцката геометрия. Очертаваните граници между нивите, разбира се, били праволинейни и именно за фигурите, описвани с прави линни, е отработена техника на триангулиране и смятане. Действително, при нея се изявява, че всяка такава фигура е разложима на триъгълници и че всеки триъгълник е разложим на два правоъгълни. А площта на правоъгълния триъгълник несъмнено е половината от тази на правоъгълника, който непосредствено му съответства. Неизбежно идва и идеята, че ако правоъгълникът има 4 прави ъгъла то неговият диа-метър - онова, което наричаме ди-агонал - ги разпределя в симетричните му части по равно – по два прави ъгъла за всеки от тригълниците. Така скицираното изглежда е достатъчно за метафизиката на Талес, макар че Хан отива много по-долеч и му приписва още ред нетривиални геометрични прозрения, в това число и знанието на т.н питагорова теорема и дори владеене на нейното класическо евклидовско доказателство.
При своя изобретателен прочит Хан експлоатира една възможна двусмиленост, скривана там където се казва, че всеки триъгълник съдържа „два прави <>“ Стандартно за липсващата дума се приема, че е „ъгли“, макар че в твърде много случаи би могло да е „триъгълника“. В неразпознатото смесване на двете твърдения се очертава и метафизиката, с която е известен Талес. Осъществяването на такива трансформации – раз-деляне и сумиране - не засяга една суб-станция която е условие за тяхната възможност.
Аналогията, която е ключова за Хан се изгражда над наблюдението, че ако всяка фигура е разложима на триъгълници и всеки от тях - на правоъгълни, то по-нататък разлагането не води до нови форми: правоъгълен триъгълник е разложим еднозначно на два по-малки, само че те имат същата форма; в тази перспектива се вижда един „припцип“ ипи „начало“ на плоските фигури; във физическия свят всичко пък се свежда до един прост флуид, неразложим по-нататък – архе-то, за което ни е осведомил Аристотел.
В една исторически по-мащабна визия Хан приема и че Талес е първоизточникът за космологията в платоновия Тимей, която също се базира на правоъгълните триъгълници. Отвъд твърдението, че те били най-прекрасни [Tim.54а] Платон не очертава друга мотивация за тях, обаче и при Талес липсва явно указание за безкрайното им повторение при смаляване на мащаба: на това място разумният историцизъм вероятно ще възрази, че след като свидетелства няма, връзката е чисто спекулативна, а внушението от подзаглавието на книгата е подеждащо. Но пък може да се подозира, че това е идеологически мотивирана реакция, доколкото има риск Платон да се окаже твърде близо до материалистите. Правдоподобен екзегетически мит пред(по)лага, че занаятчията (демиургът) в Тимей е не повече от образ на геометъра, който решава задача за построение. А контрастът между земния (или земноводния?) Талес и възвишения Платон навява усещането, че спрямо античната геометрия Тимей би бил нещо като ню ейдж бръщолевенията спрямо днешната наука. За Талес се разказва как определил височината на Пирамидите и как указал метод да се определя отдалечеността на кораб в морето – две задачи, които по съвсем друг начин илюстрират едно постигане на материално недостижимото.

Връзката, която Хан предполага, необходимо минава през разглеждането на онова, което продължава да битува под наименованието „питагорейство“. Спрямо станалата класика книга на Валтер Буркерт, неговото отношение изглежда като великодушно снизхождение, а опитите за корекции от страна на Жмуд сякаш са му се сторили плахи [4]. Хан приема не само че в една или друга формулировка съдържанието на питагорова теорема е било вече известно на Талес, но и че питагорейците реално са негови наследници. С разчитането на клинописа безспорно се установява, че поне хиляда години преди Питагор в древно-вавилонското царство са знаели достатъчно за тройките цели числа сумиращи се по формулата на питагоровата теорема [5]. Тази аритметическа релация несъмнено е забележителна, докато геометричската й интерпретация лесно може да стане повод за недоумение: че сумата от квадратите, построени на катетите, е равна на този върху хипотенузата, какво от това? Днешното училищно преподаване сякаш подминава реалната значимост, макар че тя е изявена в книгата на Евклид: като Т.VI.31: всевъзможни подобни фигури, били те окръжности, петоъгълници, мики-мауси и пр., когато имат линеен размер, съответсващ на единия и другия катет от правоъгълен триъгълник, имат общо площ като фигурата оразмерена с хипотенузата. Друго яче казано, правоъгълният триъгълник позволява сумирането на площи, при условието за подобие. Така той функцинира като по-сложен алгоритъм за „растеж“, за разлика от просто наставянето на отсечки в линейния случай и обединяването на две фигури по обща граница.
Съобразява се, че в монистката перспектива, изявявана от Хан, въпросът за знанието на тези факти е особено значим. Но той е релевантен и по-общо исторически: какво би се случвало с питагорейската идеология, когато не може да бъде скривано, че диагоналът на квадратът е несъзимерим с неговата страна – той няма число, противно на лозунга „всичко е число“, с който школата е известна. Правдоподобният наратив предполага изначалната аритметика, пропорциите и след тях несъзимеримостите. Съществуването на диагонала обаче е очевидност, каквато съществуването на числото не е. Част от заниманието на Хан е именно да изтъква визуалната страна на разумното доказване. Талес е геометър и астроном докато по-късните питагорейци се занимават с числа и слушат музика. Елементи-те на Евклид обаче подчертано се стремят да избягват алгебата и за нас класическото доказателство на питагоровата теорема изглежда като изкуствено усложнение [6]. За спасяването на питагорейците от анахронизъм и воден от своите пристрастия, Хан привлича платоновите тела. Вместо да стоят като отмъщение на дискретните числа над континуалната геометрия те биха били своего рода пророчество. Ако в равнината има произволен брой правилни фигури, то в пространството техният брой е точно пет [7].

В последна сметка със своята книга Робърт Хан като че ли повтаря жеста на Ницше, който съчинява Раждането на Трагедията от духа на музиката: пренаписване на историята в лично предпочетени категории – нещо, което академичната нагласа, тогава и сега, има всички основания да порицае.

Бележки
[1] Квалификация от неособено компетентния Плутрах, Plutarch, Quaestiones Convivales. Book VIII, 720a
[2] Fowler D., The Mathematics of Plato’s Academy: A New Reconstruction. Oxford, UK: Oxford University Press, 1987.
Netz R., Ludic Proof: Greek Mathematics and the Alexandrian Aesthetic, Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
[3] van Der Waerden B., Science Awakening, Transl. by A. Dresden. Dordrecht: Kluwer, 1954 / Ван дер Варден Б., Пробуждаща се наука (пp. от рус.), София : Наука и изкуство, 1968
Friberg J., Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics, World Scientific Publishing, 2007
[4]Burkert W., Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Transl. by E. L. Minar. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1972. (Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaus un Platon. Nuremberg: Hans Carl, 1962).
Zhmud L., Pythagoras and the Early Pythagoreans. Oxford, UK: Oxford University Press, 2012./ Жмудь Л., Пифагор и ранние пифагорейцы. Москва: Русский Фонд Содействия Образованию и Науке, 2012; The Origin of the History of Science in Classical Antiquity. Berlin: Walter de Gruyter, 2006./ Жмудь Л., Зарождение истории науки в античности. СПб., 2002.
[5] Abdulaziz A, The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples, (2010), arXiv:1004.0025 
[6]По днешни преценки, известни са над 350 доказателства за твърдяното в питагоровата теорема вж. напр. Loomis E., (1968). The Pythagorean proposition (2nd ed.). The National Council of Teachers of Mathematics / (1st. ed.).
[7]Аналози на платоновите тела могат да се дефинират в пространства с всякаква размерност: още в XIX в. Шлефли показва, че в 4D са възможни 6 тела - пет от тях са многомерни аналози на платоновите; за пространства с по-голяма размерност възможните случаи са само 3. В 2D (равнина) възможностите са правилните многоъгълници, които са изброима безкрайност, в 1D това биха били неизброимо многото отсечки. вж.Schläfli L., [1852], Graf, J. H., ed. (на German), „Theorie der vielfachen Kontinuität“, Republished by Cornell University Library historical math monographs 2010, Zürich, Basel: : Georg & Co.

[+/-] Show Full Post...