Емпедокъл и Tетрактидата

Емпедокъл и Tетрактидата
Преди двайсетина години, четейки визaнтийски глоси към Аристотел, Марван Рашед се натъква на текст, чйито автор го впечатлява със своята осведоменост за Емпедокъл. Той публикува своята находка, която бива учточнена от Оливер Примавези и след още няколко статии двамата се открояват като съавтори на една хипотеза: тетрактидата, добила известност като питагорейска емблема, изглежда е производна от циклическата космология, която Емпедокъл е развил. Серията работи, в които тезата се уточнява и детайлизира, Леонид Жмуд, един от корифеите в историята на питагорейството, отхвърли съвсем наскоро с една презрителна бележка под линия.

Накратко, Рашед установява, че неясните упоменавания за Емпедокъл в текстовете на Аристотел намират обяснение в предположението, че там неговата концепция е схаваната некоректно. Аристотел със своята логика приема, че цикълът от Враждебност и Любов е, подразбира се, четириделен: редуващите се епохи, управляни от двете начала, са отделени от времена, в които светът-Сферос или съществува или пък не съществува. Бинарната логика е безупречна, но физикалистката картина би могла да допуска, че епохата на несъществуване няма и трайност, така че реално цикълът има вида Любов, Сферос, Вражда,Любов, Сферос,... Забележително в находката на Рашед е, че схолиастът е посочил числа за продължителността на епохите: 40 единици време за статичния Сферос и, симетрично, по 60 за динамиката на двете начала. Доколкото е неясно в какви единици се мери, кръглите числа могат да се считат, по просто, за цели, така че цикълът на Емпедокъл се схематизира като .... 6+,4,6-,6+,4,6-,6+,... като индексите маркират съответното различие. Следващата стъпка, с коятосе развива хипотезата, е, че това различие присъства и като структура на динамичните епохи, представяна съответно с поредиците 1,2,3 или 3,2,1. Разписана, така схемата е
1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3...
Сега вече е тривиално да бъде разпозната формулата за тетрактидата 1+2+3+4=10. Макар така да са отчетени само 2 от трите епохи , симетриятадава да се разбере и че това би могло да е достатъчно. Текстуални аргументи, които привеждат съавторите, им позволяват да намерят връзка между известната „питегагорейска клетва“ упоменаваща тетрактидата и да я интерпретират а ла Емпедокъл с нещо като „кълна се в Сферос“, приемайки че той е визиран чрез четворката декади на своята епоха. Дискусията за валидността на тази реконструкция е твърде технична за да бъде популярно коментирана, но тя открива възможности за наблюдения, които, обратно, да я подкрепят (или оборват).
Връзката между мита за златната епоха и разработката му в индийската концепция за югите вече е коментирана (в предишен пост), а също бележката на ван дер Варден, който упоменава там и тетрактидата. Бройната система, която се ползва, бидейки десетична, е по силата на това и съответно циклична. Сумирането на времеви интервали, които са елементи от цикъл, т.е. 4+3+2+1=10 е по-нагледно и убедително от абстрактното утвърждение, че тетрактидата е декада в потенция – което се експлицира именно като 1+2+3+4=10.
Може би си струва да се отбележи, че Платон в Държавникът споменава един мит за обръщащото се време и това би съответствало добре на 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3... По-късно в Тимей обаче е развит мит за сътворение - светът възниква и трае вечно - който пък съответства добре на дяла 1234... и увековечаването му в уж-питагорейското 10. Жмуд отдавна настоява да се прави разлика между числовата символика и някаква „аритмология“, която, обратно, чрез свойства на числата тълкува света. Според него Спевсип, развивайки темата за някакво предполагаемо питагорейството в ученията на Платон, е първоизточникът на идеята за сумирането 1+2+3+4. Критичният прочит на античните свидетелства, към който той се придържа, действително показва, че от историческите питагорейци не е останало нищо, освен житейски предписания и наченки на учение за хармонията; другото са по-късни мистификации и фалшификации - често пъти неубедителни като например опитът тетрадата да бъде свързана с 10 чрез сумиране на числата задаващи най-простите консонантни интервали. Подразбира се, че Рашед и Примавези също ще да са жертва на фалшификациите, доколкото пренамират при Емпедокъл, схема, която векове наред никой не е споменавал.
Rashed M., Die Überlieferungsgeschichte der aristotelischen Schrift De generatione et corruptione, Wiesbaden, Dr. Ludwig Reichert Verlag, 2001, pp. 142-145.
Rashed M., La chronographie du système d’Empédocle : documents byzantins inédits », Aevum Antiquum, 2001, pp. 237-259.
Rashed M., « La chronographie du système d'Empédocle : addenda et corrigenda, Les Études philosophiques, 2014/3 (n° 110), p. 315-342. https://www.cairn.info/revue-les-etudes-philosophiques-2014-3-page-315.htm
Rashed M.,: La Jeune Fille et la Sphère. Études sur Empédocle PU Paris-Sorbonne (2018)
Primavesi O., « Empedokles in Florentiner Aristoteles-Scholien », Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik, 157, 2006, pp. 27-40.
Primavesi O., „Empedocles’ Cosmic Cycle and the Pythagorean Tetractys“, Rhizomata 4 (2016), 5–29.
Primavesi O., „Der kosmische Zyklus des Empedokles und die pythagoreische Tetraktys“ in: Neue Rundschau (Heft 3/2016), Frankfurt am Main 2016, 242–255.
Primavesi O., „Zur Genese der Tetraktys-Hypothese", in F. Kittler/P. Berz/J. Strauss/P. Weibel (Hg.), Götter und Schriften rund ums Mittelmeer, Paderborn 2017, 83–103.
Primavesi O., Tetraktys und Göttereid bei Empedokles: Der pythagoreische Zeitplan des kosmischen Zyklus", in F. Kittler/P. Berz/J. Strauss/P. Weibel (Hg.), Götter und Schriften rund ums Mittelmeer, Paderborn 2017, 229–316.
Zhmud L., 2020 The Anonymus Arithmologicus and its philosophical background academia.edu
Berz P., Berz Respondenz zu Oliver Primavesi „Tetraktys und Göttereid“ in F. Kittler/P. Berz/J. Strauss/P. Weibel (Hg.), Götter und Schriften rund ums Mittelmeer, Paderborn 2017, 317–410
Доколкото 5 и 8 са последователни числа на Фибоначи, отношението им апроксимира залтното сечение и същото би могла да се твърди за 10 и 16, ненамаляващ (или ненарастващ) дял от всеки период.
числото 4 е тетрас, а набор от 4 неща е тетрактида, при все че не всички и не винаги правят разликата; предположението че „клетвата“ е някакси свързана с Емпедокъл битува отдавна в литературата (вж. Жмуд)

[+/-] Show Full Post...

[+/-]Hide Full Post...

Как не разбираме древните гърци

Всички сме учили за Питагоровата теорема, но много малко са тези, които са разбрали по-нататък защо тя е интересна (да не кажем „важна“). По-късно онези, които по един или друг начин са се занимавали с питагорейство (каквото и да стои зад думата), неизбежно са научавали нещо за т.н. тетрактида – като минимум, че сумата на първите 4 числа е 10. Колцина са разбрали, защо това е интересно, остава да се гадае.
Училищните спомени за прословутата теорема, която впрочем в античността не наричат „питагорова“, добре се илюстрират със стихчето:
на квадрат хипотенузата,
туй го знае и детето,
е равна на сумата
на двата катета.
Нелитературното знание остава по-скоро като някакво твърдение, че сумата от двата квадрата, построени върху късите страни страни на правоъгълен триъгълник е равна на квадрата, построен върху дългата. Очевидното недоразумение идва от контекста „фигури“ и катахрезата – квадратът е както фигура, така и алгебрическата втора степен А смътното знание, което остава е за сумирането на някави квадрати. Нещата се замъгляват още повече когато се привежда и разяснението, че т.н. египетски триъгълник със страни 3, 4, 5 е правоъгълен и той демонстрира(л) питагоровата теорема: 3^2 + 4^2 = 5^2 .

В действителност, забележителното е, че питагоровата теорема дава рецепта за сумиране на площи (поясняващо може да се каже „квадратури“) без ограничение за тяхната форма – тя важи за кръгове, микимауси и всичко двумерно. Т.е. ако сумарната дължина на две отсечки се намира след поставянето им в продължение една на друга, то сумарната площ на две фигури се намира след поставянето на някакъв характерен размер в прав ъгъл. Измерването на диагонала (или хипотенузата) задава резултата, както измерването на удължената отсечка./1/
Допълнителното изискване страните на правоъгълен триъгълник да са съизмерими е нетривиално развитие, и макар именно то да е просто преводимо в числа, т.н. питагорови тройки, неговото разглеждане обикновено остава като отделен предмет. Тази задача съвсем определено е „не-гръцка“, още повече след като в древен Вавилон, около 1000 г . преди Питагор, са знаели достъчно за нея. Но за това светът научава едва в началото на 20в след като клинописът бива разчетен. Гръцката математика престава да изглежда така блестящо оригинална освен в някакви повърхностни представи.[2]
Аналогично, след разчитането на санскритския език в 19в. започва да се изяснява, че гръцката култура е коренно индоевропейска, докато заемките от близкия изток са по-късни.
Защо е интересно, че 1+2+3+4=10 ? Отговорът изглежда е митико исторически, но контекстът се е загубил. Сумирането на числата във възходящ ред до 10 не е засвидетелствано като значим факт преди Спевсип. Цялата платонистко-питагорейска реторика звучи неубедително, точно както се случва когато на някое твърдение се приписва важност без да се знае реалното ѝ основание. Видно е, че числото 10 няма нищо общо с гамата или хармонията, а като фигурно, „триъгълно“, то е просто едно от нескончаемата поредица. Десет е, разбира се, основата на бройна система, която, обяснимо, се ползва най-широко като нейната циклична структура е практически понятна за всеки ползвател.
Едно добре издържано обяснение видимо може да бъде извлечено от санскритските текстове, там където се описват „епохите на света“, известните „юги“. Първата била най-дълга, а всяка по-следваща с ¼ по кратка, като след четвъртата има повторение. Словоупотребата картинно препращала към хвърлянето на пръчица с квадратно сечение -продълговат зар, чиито страни носели числата от 1 до 4. Описанието като „намаляващи с по една четвърт“ е типично за митическите фразировки. Когато се дискутира цикъл, определящ интерес е неговата продължителност и именно така югите задават 4+3+2+1=10. Непреднамерено сякаш, повторението в хода на света се пренамира в повторението конституиращо бройната система. Заровете „падат“, но скъсяването тук навява идеята за ускорение, проявяващо се типично в наблюдаемите форми на физическото падане.

Математическите твърдения (могат да) се обясняват без външни препратки докато при историческите нещата стоят точно обратно. Удaрд обаче достатъчно безспорно е изявил съответствието между Хезиодовия мит за епохите и индийското схващане за югите, така че тук принципно няма възражения [4] , макар да липсват някои детайли. Намираното в Индия , от зара през вселенския цикъл до бройната ситема, изглежда исторически и логически напълно състоятелно. На поредицата от четирите юги са приписани респективно цветовете бяло, червено, жълто, черно и за нас съвсем не е трудно разпознаването им като металите сребро, мед, злато, желязо. Пренареждането според валоризацията и – навярно - трайността им , както в поемата на Хезиод, обезсмисля връзката с числата, която в Индия се помни; митологията за упадък и цикли просъществува като структура откъсната от числовата схема. Че двете са били свързани може да се провижда в остатъците от индо-арийските влияния пазени в близкия изток: не само общотото натрапчиво повтаряне за 10то поколение, след което идва катастрофа, но и за поредица империи, която, примерно, в сибилските пророчества [5] също тотализира 10. Твърди се, че, най-общо, и в архаична Гърция 10 е число за дълго време, а не за множественост.[6]
Връзката между сумирането на първите 4 в един или друг ред и цикличността, респективно между Тетрактидата и Хезиод е коментирана мимоходом от ван дер Варден [7] още в в средата на миналия век, но неговата работа не изглежда да е оставила осезаеми следи. Скоро след това идва магистралното демистифициране на питагорейството извършено от Буркерт [8], но въпреки всичко продължава да битуват „разбирания“ за накаква питагорейска тетрактида, подкрепяни от късогледа привъзраност към креационистки идеологии.
При постмодерните нагласи се говореше за съзидателни недоразумения / creative misunderstandings, malentendus creatifs/, и това съответства добре единствено на пермисивната нагласа, култивирана в условията на свръхпроизводство, било то текстуално или друго.

Бележки
[1] Hahn R., The Metaphysics of the Pythagorean Theorem, Albany:SUNY Press, 2017, една забележителна книга, коментирана и по-рано
[2] Friberg J., Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. World Scientific, 2007
[3] Zhmud L., From Number symbolism to Arithmology, Zahlen und Buchstebensysteme im Dienste Religöser Bildung, Tübingen, 2019, p.22: "The number ten plays no part in harmonics and, as I have tried to show, bears no relation to ancient Pythagoreanism."
Zhmud L., Greek arithmology Pythagoras or Plato?, in Pythagorean Knowledge from the Ancient to the Modern World, "Episteme in Bewegung", Wiesbaden: Harrassowitz Verlag, 2016, p.321-46
[4] Woodard R., Hesiod and Greek Myth p.83-166 in The Cambridge Companion to Greek Mythology, Ed. R. Woodard, Cambridge UP 2007
Според Дела и дни единствено вoлята на боговете предизвиква смяната на епохите и така определя продължителността им
[5] Syb. Or. 4; 6+2+1+1
[6] Hansen W. , Handbook of Classical Mythology (Santa Barbara: AbcClio),2004, p.309: "In Greek tradition 10 expresses not specific groups of persons or objects but rather long periods of time ending in closure." и привежда примери (в т.ч. Хезиод), а Жмуд одобрително го цитира.
[7] Waerden L., Das Grosse Jahr und der Ewige Wiederkehr, Hermes, 80 (1952) H. 2, p.129-55.
[8] Burkert W., Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Nürnberg: Hans Carl, 1962, 496 p.; trans. E.Minar Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, 1972.

[+/-] Show Full Post...

[+/-]Hide Full Post...